El gradiente: una intuición

El gradiente de una función $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ generaliza la derivada a múltiples dimensiones.

Para una función de dos variables $f(x, y)$, el gradiente es el vector:

$$\nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right)$$

Este vector apunta en la dirección de máximo crecimiento de $f$ en cada punto.

Ejemplo concreto

Sea $f(x, y) = x^2 + y^2$. Entonces:

$$\nabla f = (2x,\ 2y)$$

En el punto $(1, 1)$, el gradiente es $(2, 2)$, que apunta hacia afuera desde el origen — justo donde $f$ crece más rápido.